Математической статистики и ее новых разделов в современных условиях.

Статистика объектов нечисловой природы как самостоятельный раздел прикладной математической статистики выделена в монографии [7]. Обзору ее основных направлений посвящен, например, сборник [8]. Ей посвящен раздел в энциклопедии [2].

Статистика интервальных данных

(СИД) - раздел статистики объектов нечисловой природы, в котором элементами выборки являются интервалы в R, в частности, порожденные наложением ошибок измерения на значения случайных величин. СИД входит в теорию устойчивости (робастности) статистических процедур (см. [7]) и примыкает к интервальной математике (см. [9]). В СИД изучены проблемы регрессионного анализа, планирования эксперимента, сравнения альтернатив и принятия решений в условиях интервальной неопределенности и др. (см.[10-13]).

Развиты асимптотические методы статистического анализа интервальных данных при больших объемах выборок и малых погрешностях измерений. В отличие от классической математической статистики, сначала устремляется к бесконечности объем выборки и только потом - уменьшаются до нуля погрешности. Разработана общая схема исследования (см. [14]), включающая расчет двух основных характеристик СИД - н о т н ы (максимально возможного отклонения статистики, вызванного интервальностью исходных данных) и р а ц и о н а л ь н о г о о б ъ е м а в ы б о р к и (превышение которого не дает существенного повышения точности оценивания и статистических выводов, связанных с проверкой гипотез). Она применена к оцениванию математического ожидания и дисперсии, медианы и коэффициента вариации, параметров гамма-распределения в ГОСТ 11.011-83 [15] и характеристик аддитивных статистик, для проверки гипотез о параметрах нормального распределения, в т.ч. с помощью критерия Стьюдента, а также гипотезы однородности двух выборок по критерию Смирнова, и т.д Разработаны подходы СИД в основных постановках регрессионного, дискриминантного и кластерного анализов (см. [16]).

Многие утверждения СИД отличаются от аналогов из классической математической статистики. В частности, не существует состоятельных оценок: средний квадрат ошибки оценки, как правило, асимптотически равен сумме дисперсии этой оценки, рассчитанной согласно классической теории, и квадрата нотны. Метод моментов иногда оказывается точнее метода максимального правдоподобия (см. [15, 17]). Нецелесообразно с целью повышения точности выводов увеличивать объем выборки сверх некоторого предела. В СИД классические доверительные интервалы должны быть расширены вправо и влево на величину нотны, и длина их не стремится к 0 при росте объема выборки.

Многим задачам классической математической статистики могут быть поставлены в соответствие задачи СИД, в которых элементы выборок - действительные числа заменены на интервалы. В статистическое программное обеспечение включают алгоритмы СИД, "параллельные" их аналогам из классической математической статистики. Это позволяет учесть наличие погрешностей у результатов наблюдений.